答案概述

根据中国法律，无论是供卵母亲还是助孕母亲，在孩子出生后，如果没有合法的收养或领养程序，都不能直接获得孩子的抚养权。这是因为，孩子的抚养权属于生物学父母或法定监护人，而非提供卵子或助孕的母亲。即使供卵母亲提供了卵子，并参与了孩子的孕育过程，她仍然不具备法定的父母身份，除非有特殊的法律认可或协议。

法律依据

中国的民法典规定，自然人的民事权利能力始于出生。这意味着，从生物学意义上来说，孩子与提供卵子的母亲并没有法律上的亲子关系，因此，供卵母亲不能自动获得孩子的抚养权。

特殊情况

在某些特殊情况下，如果供卵母亲与孩子的生物学父母签订了书面协议，明确了双方的权利和义务，这种协议可能在特定条件下受到法律的认可。例如，在同性伴侣关系中，如果一方提供了卵子，另一方怀孕并生育，双方可能签订助孕协议来明确孩子的抚养权。但是，这样的协议必须符合当地的法律法规，并且需要经过合法的公证或认证。

实际案例

在实际案例中，有供卵母亲试图通过法律途径争夺抚养权，但成功的案例非常罕见。在大多数情况下，法院会根据孩子的最佳利益来做出判决，这意味着通常会将孩子判给生物学父母或已建立法律亲子关系的人。

综上所述，供卵母亲通常不能直接争夺抚养权。如果希望获得孩子的抚养权，她可能需要通过其他的法律途径，如寻求助孕协议的法律认可，或者通过领养等方式取得孩子的监护权。在这个过程中，专业的法律咨询是非常必要的，以确保所有行为符合法律规定，并维护自身权益。